Bayessches Netz

Ein bayessches Netz oder Bayes’sches Netz (benannt nach Thomas Bayes) ist in der Bayesschen Inferenz ein gerichteter azyklischer Graph (DAG), in dem die Knoten Zufallsvariablen und die Kanten bedingte Abhängigkeiten zwischen den Variablen beschreiben. Jedem Knoten des Netzes ist eine bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung der durch ihn repräsentierten Zufallsvariable, gegeben die Zufallsvariablen an den Elternknoten, zugeordnet. Sie werden durch Wahrscheinlichkeitstabellen beschrieben. Diese Verteilung kann beliebig sein, jedoch wird häufig mit diskreten oder Normalverteilungen gearbeitet. Eltern eines Knotens v sind diejenigen Knoten, von denen eine Kante zu v führt.

Ein bayessches Netz dient dazu, die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung aller beteiligten Variablen unter Ausnutzung bekannter bedingter Unabhängigkeiten möglichst kompakt zu repräsentieren. Dabei wird die bedingte (Un)abhängigkeit von Untermengen der Variablen mit dem A-priori-Wissen kombiniert.

Sind X₁, …, X_n einige der im Graphen vorkommenden Zufallsvariablen (die abgeschlossen sind unter Hinzufügen von Elternvariablen), so berechnet sich deren gemeinsame Verteilung als

${\displaystyle P(X_{1},\dots ,X_{n})=\prod _{i=1}^{n}P(X_{i}|\mathrm {Eltern} (X_{i}))\;.}$

Dabei ist ${\displaystyle P(X_{1},\dots ,X_{n})}$ eine symbolische Schreibweise für die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$. Hat ein Knoten keine Eltern, so handelt es sich bei der assoziierten Wahrscheinlichkeitsverteilung um eine unbedingte Verteilung.

Wie im Beispiel unten, interessiert man sich häufig für eine Randwahrscheinlichkeit, die man durch Marginalisierung über alle möglichen Realisierungen ${\displaystyle x_{j}}$ im Zustandsraum ${\displaystyle E_{j}}$ der Zufallsvariable ${\displaystyle X_{j}}$ erhält:

${\displaystyle P(X_{1}=x_{1})=\sum _{x_{2}\in E_{2}}\dots \sum _{x_{n}\in E_{n}}P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n}=x_{n}).}$